27 de octubre de 2012

28.6.- Leyes de Kirchhoff



Una red eléctrica es un circuito complejo que consta de cierto número de trayectorias cerradas o mallas por donde circula corriente. Es complicado aplicar la ley de Ohm cuando se trata de redes complejas que incluyen varias mallas y varias fuentes de fem. En el siglo XIX , el científico alemán Gustav Kirchhoff desarrolló un procedimiento más directo para analizar circuitos de ese tipo. Su método se apoya en dos leyes: la primera y la segunda leyes de Kirchhoff.

Primera ley de Kirchhoff: La suma de las corrientes que entran en una unión
es igual a la suma de las corrientes que salen de esa unión.

Segunda ley de Kirchhoff: La suma de las fem alrededor de cualquier malla
cerrada de corriente es igual a la suma de todas las caídas de IR alrededor de
dicha malla.


Un nodo es cualquier punto en un circuito donde confluyen tres o más alambres. La primera ley simplemente establece que la carga debe fluir continuamente; no se puede acumular en un nodo.
 .
La segunda ley no es sino otra forma de postular la conservación de la energía. Si se parte de cualquier punto del circuito y se sigue por cualquier trayectoria o malla cerrada, la energía que se gana por unidad de carga debe ser igual a la energía que se pierde por unidad de carga. La energía se gana gracias a la conversión de energía química o mecánica en energía eléctrica mediante una fuente de fem. La energía se puede perder, ya sea en forma de caídas de potencial IR o en el proceso de invertir la corriente mediante una fuente de fem. En el último caso, la energía eléctrica se convierte en la energía química necesaria para cargar una batería o la energía eléctrica se convierte en energía mecánica para el funcionamiento de un motor.
Al aplicar las reglas de Kirchhoff han de seguirse procedimientos bien definidos. Los pasos
del procedimiento general se presentarán considerando el ejemplo planteado en la figura 28.10a.

  1. Elija una dirección de la corriente para cada malla de la red.

Las tres mallas que podrían considerarse están representadas en la figura 28.10b, c y d. Si
consideramos todo el circuito mostrado en la figura 28-10a, se supone que la corriente l  fluye en contrasentido a las manecillas del reloj en la parte superior de la malla, se supone que l circula a la izquierda en el ramal del centro y que l, fluye contra las manecillas del reloj en la malla inferior. Si las suposiciones son correctas, la solución al problema nos dará un valor positivo para la comente; si son incorrectas, un valor negativo indicará que la corriente en realidad circula en dirección opuesta.

2. Aplicar la primera ley de Kirchhoff para escribir una ecuación de la corriente para todos
y cada uno de los nodos.

Escribir la ecuación de la corriente para cada nodo sería duplicar la ecuación. En nuestro ejemplo, hay dos nodos que se indican como m y n. La ecuación de la corriente para m es


Resultaría la misma ecuación si se considerara el nodo n, y no se obtendría ninguna nueva información.

3. Indique, mediante una flecha pequeña junto al símbolo de cada fem, la dirección en la que la fuente, si actuara sola, haría que una carga positiva circulara por el circuito.

4. Aplique la segunda ley de Kirchhoff ( ∑&=∑ IR) para cada una de las mallas. Habrá
una ecuación para cada malla.

Al aplicar la segunda regla de Kirchhoff hay que partir de un punto específico de la malla y
hacer un seguimiento de ésta en una dirección consistente hasta volver al punto de partida. La elección de una dirección de seguimiento es arbitraria; sin embargo, una vez establecida se convierte en la dirección positiva ( + ) para la convención de signos. (Las direcciones de seguimiento de las tres mallas de nuestro ejemplo están indicadas en la figura 28.10.) Se aplican las siguientes convenciones de signos:

1. Cuando se suman las fems en toda una malla, el valor asignado a la fem es positivo si su
salida (véase el paso 3) coincide con la dirección del seguimiento; se considera negativo
si la salida es en contra de esa dirección.

2. Una caída de potencial IR se considera positiva cuando se supone que la comente sigue
la dirección del seguimiento y negativa cuando se supone que se opone a ella.

Vamos a aplicar la segunda ley de Kirchhoff a cada malla del ejemplo.


Malla 1 Partiendo del punto m y en un seguimiento contra las manecillas del reloj se tiene


Malla 2 Partiendo del punto m y en un seguimiento contra las manecillas del reloj se tiene


Malla 3 Partiendo del punto m y haciendo el seguimiento contra las manecillas del reloj
se tiene



Si la ecuación de la malla 1 se resta de la ecuación de la malla 2, se obtiene la ecuación para la malla 3, lo que demuestra que la ecuación de la última malla no arroja información nueva. Ahora se tienen tres ecuaciones independientes que incluyen sólo tres cantidades desconocidas. Se pueden resolver simultáneamente para determinar las incógnitas, y es posible usar la tercera ecuación para comprobar los resultados.


28.5.- Inversión de la corriente mediante una fuente de fem



En una batería, la energía química se convierte en energía eléctrica para mantener un flujo
de corriente en un circuito eléctrico. Un generador desempeña una función similar, ya que
convierte la energía mecánica en energía eléctrica. En cualquier caso, el proceso es reversible. Si una fuente de mayor fem se conecta en dirección opuesta a una fuente de menor fem, la corriente circulará a través de esta última de su terminal positiva a su terminal negativa. Invertir el flujo de carga de esta forma da por resultado una pérdida de energía a medida que la corriente eléctrica se transforma en energía química o mecánica.
  Considere el proceso de cargar una batería, como se muestra en la figura 28.8. Mientras
la carga fluye a través de la fuente de mayor fem, & , ésta gana energía. El voltaje en las terminales para &1x es

de acuerdo con la ecuación (28.12). El voltaje de salida se reduce debido a la resistencia interna r,.


La energía se pierde de dos maneras mientras se fuerza la carga a través de la batería
contra de su dirección de salida normal:

1. La energía eléctrica en una cantidad igual a &2 se almacena como energía química en la batería.
2. La energía se pierde debido a la resistencia interna de la batería. Por tanto, el voltaje V2 en las terminales, que representa la caída total de potencial en la batería, se expresa así:


donde r2 es la resistencia interna. Observe que en este caso el voltaje en las terminales es mayor que la fem de la batería. El resto del potencial suministrado por la fuente de mayor fem se pierde por la resistencia externa R.
A lo largo de todo el circuito la pérdida de energía debe ser igual a la energía ganada.
Entonces, se puede escribir

La corriente suministrada a un circuito eléctrico continuo es igual a la fem neta dividida entre la resistencia total del circuito, incluida la resistencia interna.

A fin de aplicar la ecuación (28.15), se considera negativa una fem cuando la corriente  luye contra de su dirección de salida normal.

28.4.- Medición de la resistencia interna



La resistencia interna de una batería se puede medir en el laboratorio con un voltímetro, un amperímetro y una resistencia de valor conocido. Un voltímetro es un instrumento que tiene una resistencia sumamente alta. Cuando se le conecta directamente a las terminales de una batería de ésta sale una corriente insignificante. Es evidente, a partir de la ecuación (28.11), que para una corriente de cero este voltaje en las terminales es igual a la fem (VT = &). De hecho, la fem de una batería suele llamarse diferencia de potencial a “circuito abierto”. Por tanto, es posible medir la fem con un voltímetro. Si se conecta una resistencia de valor conocido al circuito puede determinarse la resistencia interna midiendo la corriente suministrada al circuito.


28.3.-Fem y diferencia de potencial Terminal

En los problemas anteriores hemos supuesto que toda resistencia al flujo de corriente se debe a elementos de un circuito que son externos a la fuente de fem. Sin embargo, esto no es del todo cierto, ya que hay una resistencia inherente a cada fuente de fem. Esta resistencia interna se representa con el símbolo r y se muestra esquemáticamente como una pequeña resistencia en serie con la fuente de fem (véase la figura 28.7). Cuando una corriente I fluye
por un circuito hay una pérdida de energía a través de la carga externa RL y hay también una pérdida de calor debida a la resistencia interna. Por consiguiente, el voltaje real (V ) entre las terminales de una fuente de fem & con una resistencia interna r se expresa así:

El voltaje aplicado a la carga externa es, en consecuencia, menor que la fem por una cantidad igual a la caída de potencial interno. Puesto que V = IR¡, la ecuación (28.11) puede escribirse de nuevo como


Si resolvemos esta ecuación para la corriente I se obtiene

La corriente en un circuito simple que contiene una sola fuente de fem es igual a la fem & dividida entre la resistencia total del circuito (incluida la resistencia interna).




28.2.- Resistores en paralelo



Hay varias limitaciones en la operación de los circuitos en serie. Si falla un solo elemento de un circuito en serie al proporcionar una trayectoria para el flujo, todo el circuito queda abierto y la corriente se interrumpe. Sería muy molesto que todos los aparatos eléctricos de una casa dejaran de funcionar cada vez que un foco se fundiera. Más aún, cada elemento de un circuito en serie se añade al total de la resistencia del circuito limitando, por tanto, la corriente total que puede ser suministrada. Estas objeciones pueden superarse si se proporcionan otras trayectorias para la corriente eléctrica. Este tipo de conexión, en la que la corriente puede dividirse entre dos o más elementos, se denomina conexión en paralelo.
Un circuito en paralelo es aquel en el que dos o más componentes se conectan a dos
puntos comunes del circuito. Por ejemplo, en la figura 28.4, los resistores R2 y R,, están en paralelo, pues ambos tienen en común los puntos A y B. Observe que la corriente /, suministrada por una fuente de fem, se divide entre los resistores R2 y R3

Para obtener una expresión para la resistencia equivalente R de cierto número de resistencias conectadas en paralelo seguiremos un procedimiento similar al expuesto para las conexiones en serie. Suponga que se colocan tres resistores (Rr Rn y R3) dentro de una caja, como aparece en la figura 28.5.

La comente total I suministrada a la caja está determinada por su resistencia efectiva y el
voltaje aplicado:

En una conexión en paralelo, la caída de voltaje a través de cada resistor es igual y equivalente a la caída de voltaje total.

Esta aseveración se comprueba cuando consideramos que la misma energía debe perderse por unidad de carga, independientemente de la trayectoria seguida en el circuito. En este ejemplo, la carga puede fluir por cualquiera de los tres resistores. Por tanto, la corriente total suministrada se divide entre ellos.


Al aplicar la ley de Ohm a la ecuación (28.8) se obtiene

Pero los voltajes son iguales, y podemos dividir la expresión anterior entre ellos

En suma, para resistores en paralelo:

1. La corriente total en un circuito en paralelo es igual a la suma de las corrientes en los ramales individuales.
2. Las caídas de voltaje a través de todos los ramales del circuito en paralelo deben ser de igual magnitud.
3. El recíproco de la resistencia equivalente es igual a la suma de los recíprocos de las resistencias individuales conectadas en paralelo.

En caso de tener sólo dos resistores en paralelo,

Al resolver algebraicamente esta ecuación para R se obtiene una fórmula simplificada para calcular la resistencia equivalente

La resistencia equivalente de dos resistores conectados en paralelo es igual a su producto dividido entre su suma.




28.1.- Circuitos simples; resistores en serie.



Un circuito eléctrico consiste en cierto número de ramas unidas entre sí, de modo que al menosuna de ellas cierre la trayectoria que se proporciona a la corriente. El circuito más sencillo consta de una sola fuente de fem unida a una sola resistencia externa, como se muestra en la figura 28.1. Si “S  representa la fem y R indica la resistencia total, la ley de Ohm queda como


donde I es la corriente que circula por el circuito. Toda la energía que se gana mediante una carga que pasa a través de la fuente de fem se pierde debido al flujo a través de la resistencia.



Considere la adición de ciertos elementos al circuito. Se dice que dos o más elementos están en serie si tienen un solo punto en común que no está conectado a un tercer elemento. La corriente puede fluir únicamente por una sola trayectoria por los elementos en serie. Los resistores R y Rn de la figura 28.2a están en serie porque el punto A es común a ambas. Los resistores de la figura 28.2b, sin embargo, no están en serie, ya que el punto B es común a tres ramales de corriente. Al entrar en tal unión, la corriente eléctrica puede seguir dos trayectorias distintas.
Suponga que tres resistores (Rv R, y R}) están conectadas en serie y encerrados en una caja, la cual se indica con la parte sombreada en la figura 28.3. La resistencia efectiva R de los tres resistores se determina a partir de la fem (V) y de la corriente (l), registrados en los instrumentos de medición. Con base en la ley de Ohm


¿Cuál es la relación de R respecto a las tres resistencias internas? La corriente que circula por cada resistor debe ser idéntica, puesto que existe una sola trayectoria. En consecuencia,


Aprovechando este hecho y considerando que la ley de Ohm se aplica por igual a cualquier parte del circuito, escribimos
 
El voltaje externo (V) representa la suma de las energías perdidas por unidad de carga al pasar por cada resistencia. Por consiguiente,


Por último, si sustituimos a partir de la ecuación (28.4) y dividimos entre la corriente se obtiene


Para resumir lo que se ha aprendido acerca de los resistores conectados en serie tenemos que:

1. La corriente es igual en cualquier parte de un circuito en serie.
2. La fem a través de cierto número de resistencias en serie es igual a la suma de los voltajes correspondientes a cada una de ellas.
3. La resistencia efectiva de cierto número de resistores en serie es equivalente a la suma de las resistencias individuales.




28.-Corriente continúa



Objetivos
Cuando termine de estudiar este capítulo el alumno:

1. Determinará la resistencia efectiva de cierto número de resistores (o resistencias) conectadas en serie y en paralelo.
2. Escribirá y aplicará ecuaciones relacionadas con el voltaje, la corriente y la resistencia para un circuito que contenga resistores conectados en serie y en paralelo.
3. Resolverá problemas que impliquen fem de una batería, la diferencia de p o tencial en sus terminales, la resistencia interna y la resistencia d e la carga.
4. Escribirá y aplicará las leyes de Kirchhoff para redes eléctricas similares a las que aparecen en este texto.

Se usan dos tipos de comente: la corriente directa (cd), que es el flujo continuo de carga en
una sola dirección, y la corriente alterna (ca), que es el flujo de una carga que cambia continuamente tanto en magnitud como en dirección. En este capítulo analizaremos la comente, el voltaje y la resistencia de circuitos de cd. Gran parte de los métodos y procedimientos se aplican también a los circuitos de ca. Las variaciones requeridas para las corrientes alternas surgen lógicamente a partir de una base firme en el estudio de la cd.

26 de octubre de 2012

26.6.- Energía de un condensador



Considere un condensador que estaba descargado inicialmente. Cuando una fuente de diferencias de potencial se conecta a él, la diferencia de potencial entre las placas se incrementa en medida que se transfiere la carga. A mediad que se acumula mas y mas carga en el condensador, se vuelve cada vez mas difícil transferir una carga adicional. Supongamos ahora que se representa con Q la carga total transferida y la diferencia de potencial final con V. La diferencia de potencial promedia a través de la cual se mueve la carga se expresa de este modo:


Puesto que la carga total transferida es Q, el trabajo total realizado en contra de las fuerzas eléctricas es igual al producto de Q por la diferencia de potencial promedio V. Por tanto,

Este trabajo equivale  a la energía potencial electroestática de un condensador cargado. Si partimos de la definición de la capacitancia (Q = CV), esta energía potencial puede escribirse de diversas maneras



Cuando C se expresa en farad, V en volts y Q en coulombs, la energía potencial estará expresada en joules. Esta ecuación se aplica por igual a todos los condensadores, independientemente de cómo estén construidos.