24.4.- Ley de Gauss

Para cualquier distribución de carga podemos dibujar un número infinito de líneas eléctricas. Es claro que si la separación entre las líneas será una indicación estándar de la intensidad del campo, debemos establecer un límite al número de líneas trazadas para cada situación. Por ejemplo, consideramos las líneas del campo dirigidas racialmente hacia fuera  a partir de una carga puntual positiva. Usaremos la letra N para representar el número de líneas trazadas. Ahora imaginaremos que una superficie esférica  rodea la carga puntual a una distancia r  de la carga. La intensidad del campo en cualquier punto de una esfera así estaría dada por:

Partiendo de la forma en que se trazan las líneas del campo también podemos decir que el campo en una pequeña porción de área ∆A es proporcional al número de líneas ∆N que penetran en esa área. En otras palabras, la intensidad de las líneas del campo (líneas por unidad de área) es directamente proporcional ala intensidad del campo. Simbólicamente. 

El subíndice n indica que el campo es normal al área superficial en todas partes. Esta proporcionalidad siempre es valida, independientemente del número total de líneas N  que se puede trazar. Sin embargo, un vez que se elige una constante de proporcionalidad para la ecuación anterior se establece automáticamente un limite párale numero de líneas que puede trazarse en cada situación. Se ha encontrado que la elección más conveniente para esta constante de espaciamiento es €0. Esto se conoce como permisividad del espacio libre y se define mediante la expresión

Donde k = 9 X10 N · m²/C² de la ley de Coulomb. Entonces, la ecuación pede escribirse como

       o bien        

      Cuando En  es constante por toda superficie, el numero total de líneas que se dirige racialmente hacia fuera de la carga encerrada es         

          

Se puede notar que la elección de E0 es conveniente sustituyendo la ecuación en la ecuación

Sustituyendo esta expresión en la ecuación y recordando que el área de una superficie esférica es

A = 4∏r² se obstine

La elección de E0 como la constante de proporcionalidad ha dado por resultado que el número total de líneas que pasan normalmente a través de una superficie es numéricamente igual a la carga contenida dentro de la superficie. Aunque  este resultado se obtuvo usando una superficie esférica, se aplicara a cualquier otra superficie. El planteamiento mas general de ese resultado se conoce como ley de Gauss:

El numero total de líneas de fuerza eléctrica que cruza cualquier superficie cerrada en dirección hacia fuera es numéricamente igual a la carga neta total contenida dentro de esa superficie.

La ley de Gauss se utiliza para calcular la intensidad del campo cerca de las superficies decaída. Esto representa una clara ventaja sobre los métodos desarrollados anteriormente debido a que las ecuaciones anteriores se aplican solo a cargas puntuales.