26.5.- Condensadores en paralelo y en serie.

A menudo los circuitos eléctricos están formados por dos o más condensadores conectados en grupos. Para conocer el efecto de esta agrupación se conveniente recurrir al diagrama del circuito, en el que los dispositivos eléctricos se representan mediante símbolos. En la primera figura se ilustran cuatro de los símbolos más comunes relacionados con los condensadores. El extremo de mayor potencia de una batería se indica mediante una línea mas larga. El extremo de mayor potencial de un condensador se representa con una línea recta, en tanto que con una línea curva se denota el lado de menor potencial. Una flecha indica un condensador variable. Una conexión a tierra es una conexión eléctrica entre los alambres de un aparato y su chasis metálico o cualquier otro deposito grande de cargas positivas y negativas.

  El primer lugar, consideramos el efecto de un grupo condensadores conectados a lo largo de una solo trayectoria, como se muestra en la otra figura. Ese tipo de conexión, en la que la placa positiva de un condensador esta conectada a la placa negativa de otro, recibe el nombre de conexión en serie. La batería mantiene la diferencia de potencial V entre la placa positiva de C1 y la negativa de C3 transfiriendo electrones de una a la otra. La carga no puede pasar entre las placas de un condensador; por tanto, toda la carga que se halla dentro del paralelogramo punteado de la segunda figura  es carga inducida; debido a ello, la carga en cada condensador es idéntica. 

Los tres condensadores pueden reemplazarse por una capacitancia equivalente C sin que cambie el efecto externo. Ahora conviene deducir una expresión para calcular esta capacitancia equivalente en el caso de las conexiones en serie. Puesto que la diferencia de potencial entre  Ay B es independiente de la trayectoria, el voltaje de la batería debe ser igual a la suma de las caídas de potencial a través de cada condensador

 Si recordamos que la capacitancia C se define por la razon Q/V, la ecuacion queda

Para una conexion en serie,Q=Q1=Q2=Q3, asi que podemos dividir entre las carga, como sigue

La capacitancia efectiva total para dos condensadores en serie es

Ahora consideramos un grupo de condensadores conectados de tal modo que la carga pueda compartirse entre dos o más conductores. Cuando varios condensadores se conectan directamente a la misma fuente de potencial, como se muestra en la figura, se dice que están conectados en paralelo. Con base en la definición de la capacitancia, la carga en cada condensador paralelo es

La carga total Q es igual a la suma de las cargas individuales.

La capacitancia equivalente del circuito completos Q = CV, de modo que la ecuación anterior se transforma en

 Para una conexion en paralelo.

 Ya que todos los condensadores están conectados a la misma diferencia del potencial. Por tanto, dividiendo entre los voltajes de la ecuación anterior se  obtiene

27.6 Resistividad

Al igual que la capacitancia es independiente del voltaje y de la cantidad de carga, la resistencia
de un conductor es independiente de la corriente y del voltaje. Tanto la capacitancia
como la resistencia son propiedades inherentes a un conductor. La resistencia de un alambre
que tiene un área de sección transversal uniforme, como el que muestra la figura 27.7, se determina
por los cuatro factores siguientes:
1. Tipo de material
2. Longitud
3. Área de sección transversal
4. Temperatura
Ohm, el físico alemán que descubrió la ley que ahora lleva su nombre, informó también
que la resistencia de un conductor a una temperatura dada es directamente proporcional
a su longitud, e inversamente proporcional al área de su sección transversal y depende del
material del cual está hecho. Para un conductor dado, a una temperatura determinada, la resistencia
se puede calcular a partir de

donde R = resistencia

1 = longitud

A = área

La constante de proporcionalidad es una propiedad del material llamada resistividad, dada por

La resistividad varía considerablemente de acuerdo con el tipo de material y también se ve
afectada por cambios de temperatura. Cuando R está en ohms, A en metros cuadrados y L en
metros, la unidad de resistividad es el ohm-metro (n . m):

En la tabla 27.1 se muestra la resistividad de algunos metales muy comunes.

Ejemplo :

27.5 Potencia eléctrica y perdida de calor

Hemos visto que la carga eléctrica gana energía en una fuente generadora de fem y pierde energía
cuando pasa a través de una resistencia externa. Dentro de la fuente de fem, el trabajo es
realizado por lafuente elevando la energía potencial de la carga. Cuando la carga pasa a través
del circuito externo, el trabajo es realizado por la carga sobre los componentes del circuito. En
el caso de un resistor puro, la energía se disipa en forma de calor. Si se conecta un motor al circuito,
la pérdida de energía se divide entre el calor y el trabajo útil realizado. En cualquier caso,
la energía ganada en la fuente de fem debe igualar la energía perdida en el circuito completo.
Examinemos con más detalle el trabajo que se realiza dentro de la fuente de fem. Por
definición, se desarrolla un joule de trabajo por cada coulomb de carga que se mueve a través
de una diferencia de potencial de un volt. Por tanto,

donde q es la cantidad de carga transferida durante un tiempo t. Pero q = It, así que la ecuación
(27.3) se transforma en

Donde 1 es la corriente en coulombs por segundo. Este trabajo representa la energía ganada

debido a una carga que pasa a través de la fuente de fem durante el tiempo t. Una cantidad
equivalente de energía se disipará en forma de calor a medida que la c¡y-gase mueve a través
de una resistencia externa.
La rapidez con la cual se disipa el calor en un circuito eléctrico se conoce como potencia
disipada. Cuando la carga fluye en forma continua a través de un circuito, esta potencia
disipada está dada por

Cuando V está expresada en volts e I se expresa en amperes, la potencia disipada se mide en
watts. Se demuestra que el producto del voltaje por la corriente da una unidad de potencia
en la siguiente forma:

La ecuación (27.5) se puede expresar en de otras maneras usando la ley de Ohm = IR).

Al sustituir V se puede escribir

26.4.- Constante dieléctrica; permisividad

La cantidad de carga que puede colocarse en un conductor en gran mediad esta determinada por la rigidez dieléctrica del medio circundante. De forma similar, la rigidez dieléctrica del material situado entre las placas de un condensador limita su capacidad para almacenar carga. La mayor parte de los condensadores tiene entre las placas un material no conductor, llamado dieléctrico, para proporcionar una rigidez dieléctrica mayor que la del aire. He aquí una de las ventajas de ello:

1. Un material dieléctrico proporciona una pequeña separación de las placas sin que hagan contacto.
2. Un dieléctrico aumenta la capacitancia de un condensador.
3. Se puede usar altos voltajes sin peligro de que el dieléctrico alcance el punto de ruptura.
4. Un dieléctrico a menudo proporciona una mayor resistencia mecánica.

  Entre los materiales dieléctricos comunes se puede mencionar la mica, el papel parafinado, cerámica y los plásticos. Se puede arrollar hojas alternadas de chapa metálica y papel parafinado para fabricar un condensador compacto, con una capacitancia  de varios microfarads.

  Para entender el efecto de un dieléctrico, consideramos el material aislante  de la figura que se muestra, colocando entre las placas de un condensador que tiene una diferencia de potencia V. los electrones en el dieléctrico no tienen la libertad de dejar sus átomos correspondientes, pero sui desplazarse ligeramente hacia la placa positiva. Los protones y los electrones de cada átomo se alinean del modo que se indica en la figura. Se dice que el material se ha polarizado y que los átomos forman dipolos. Todas las cargas positivas y negativas dentro de la elipse punteada de la figura se neutralizan entre sí. Sin embargo, una carga negativa sobre una superficie y una capa de carga positiva sobre la otra no se neutraliza. Se establece un campo eléctrico ED en el dieléctrico que se opone al campo E0 el cual existirá aun sin el dieléctrico. La invencida del campo resúltate es:

Por lo tanto, la inserción de un dieléctrico origina una reducción en la intensidad del campo eléctrico,

V = Ed, una reducción en la intensidad causara una caída en la diferencia de potencial. Este hecho se ilustra con el ejemplo del a figura siguiente, la inserción de un dieléctrico origina una divergencia en la hoja de oro del electroscopio.

A partir de definición de capacitancia, C = Q/V, se observa que una caída en el voltaje da por resultado un incremento en la capacitancia. Si representamos la capacitan antes de insertar un dieléctrico por medio de C0 y la capacitancia después de la inserción por C, la razón C/C0 mostrara el incremento relativo en la capacitancia. Si bien es cierto que esta razón varia según  el material empleado, su valor es constante para un dieléctrico en particular.

La constante dieléctrica K para un material concreto se define como la razón de la capacitancia C  de un condensador de acuerdo con el material que hay entre sus placas y la capacitancia C0 en el vació.

 

La constante dieléctrica de diversos materiales aparece en la tabla junto con la rigidez dieléctrica de los mismos materiales. Observe que, en el caso del aire, K tiene un valor de 1.0 aproximadamente.

  Con base en las proporcionalidades, se demuestra que la constante dieléctrica también puede expresarse así:

A partir en a ecuación, la capacitancia C de un condensador que tiene un dieléctrico entre sus placas es

 

 Sustituyendo la ecuación tenemos una relación para calcular directamente C:

 donde A es el area de las placas y d es su separacion.

  La constante ya ha sido definida anteriormente como la permisividad en el vació. Recuerde que al analizar la ley de Gauss vimos que €0 es una realidad la constante de proporcionalita que relaciona la densidad de las líneas del campo eléctrico con la intensidad del campo eléctrico en el vació. La permisividad de € de un dieléctrico es mayor que €0 por un factor igual a la constante dieléctrica K. en consecuencia

Con base en esta relación se entiende porque la constante dieléctrica, K= €/€0, se conoce a veces como la  permisividad relativa. Cuando sustituimos la ecuación anterior en la ecuación anterior a esa, la capacitancia para un condensador que contiene un dieléctrico es simplemente

 

Esta relación es la ecuación más general para calcular la capacitancia. Cuando hay espacio vacío o aire entre las placas del condensador €=€0.

26.3.- Calculo de la capacitancia

En general, un conductor de gran tamaño puede contener una gran cantidad de carga, y un condensador puede almacenar mas carga que un simple conductor debido al efecto inductivo de los condensadores situados muy cerca uno de otro. Cuanto mas cerca se encuentra estos conductores es mayor efecto inductivo y, por lo tanto, aumenta también la facilidad de transferir una carga adicional de un conductor al otro. Sobre la base de estas observaciones se puede predecir que la capacidad de un condensador será directamente proporcional al área de las placas e inversamente proporcional a su separación. La relación exacta puede determinarse considerando la intensidad del campo eléctrico entre las placas del condensador.

  La intensidad del campo eléctrico entre las placas del condensador cargado que aparece en la figura puede determinarse con base en la ecuación

  Una ecuación alternativa para calcular la intensidad del campo eléctrico se dedujo en el capitulo 24, a partir de la ley de Gauss. En ella se relaciona la intensidad del campo, E, con la densidad de carga σ, de la manera siguiente:

Para un condensador  con vació entre las placas se combinan las ecuaciones anteriores.

Considerando que la capacitancia C el la razón de la carga al voltaje podemos reordenar los términos y obtener

 

El subíndice 0 indica que existe vació entre las placas del condensador. Para obtener una determinación aproximada también se puede usar la ecuación cuando hay aire entre las placas del condensador

Con frecuencia, los condensadores de placas paralelas están constituidos por un conjunto de placas conectadas en forma alternada, como se obsesa en la imagen. Si e hace que uno de los juegos de las placas se mueva el resultado es un condensador variable. Si se hace girar un juego de placas con relación a otro, cambia el área real de las placas del condensador variables se usan a veces en circuitos de sintonía de receptores de radio.

27.4 Ley de Ohm; resistencia

La resistencia (R) se define como la oposición a que fluya la carga eléctrica. Aunque la mayoría
de los metales son buenos conductores de electricidad, todos ofrecen cierta oposición a
que el flujo de carga eléctrica pase a través de ellos. Esta resistencia eléctrica es fija para gran
número de materiales específicos, de tamaño, forma y temperatura conocidos. Es independiente
de la fem aplicada y de la corriente que pasa a través de ellos.
El primero en estudiar cuantitativamente los efectos de la resistencia para limitar el flujo
de carga fue Georg Simon Ohm, en 1826. Él descubrió que para un resistor dado, a una temperatura
particular, la corriente es directamente proporcional al voltaje aplicado. Así como
la rapidez de flujo de agua entre dos puntos depende de la diferencia de altura que haya entre
ambos, la rapidez de flujo de la carga eléctrica entre dos puntos depende de la diferencia de
potencial que existe entre ellos. Esta proporcionalidad se conoce, en general, como la ley de
Ohm

La corriente que circula por un conductor dado es directamente proporcional
a la diferencia de potencial entre sus puntos extremos.

Por tanto, la corriente 1 que se observa con un voltaje Ves un indicio de la resistencia. Matemáticamente,
la resistencia R de un conductor dado se puede calcular a partir de

Cuanto mayor sea la resistencia R, tanto menor será la corriente 1para un voltaje dado V.
La unidad de medición de la resistencia es el ohm, cuyo símbolo es la letra griega mayúscula
omega (n). Dada la ecuación

Una resistencia de un ohm permitirá una corriente de un ampere cuando se aplica a sus terminales
una diferencia de potencial de un volt.
Ejemplo

26.2.- El condensador

Cuando varios conductores se colocan cerca unos de otros, el potencial de cada uno se ve afectado por la presencia de los otros. Suponga que una placa A cargada negativamente se conecta a un electroscopio. La divergencia de la hoja de oro del electroscopio proporciona una medida del potencial del conductor. Ahora imaginemos que otro conductor B se coloca en forma paralela A, a una corta distancia de él. Cuando el segundo conductor se conecte a tierra, se incluirá en el una carga positiva a media que los electrones sean forzados a fluir a tierra. La hoja de oro de inmediato se caerá ligeramente, lo que indica un decenso en el potencial del conductor A.

Debido ala presencia de la carga inducida en B, se requiere menos trabajo para transferir al conductor A unidades de carga adicciones. En otras palabras, la capacitancia del sistemas para retener carga se ha incrementado a causa de la proximidad de los dos contutores. Dos conductores de ese tipo, muy próximo uno al otro, transportando cargas iguales y opuestas, constituyen un condensador.

Un condensador esta formado por dos conductores, muy cercanos entre si, que transportan cargas iguales y opuestas.

  

El condensador más sencillo es el condensador de placas paralelas. Se puede comprobar que existe una diferencia de potencia entre dichas placas si se conecta a ellas una batería. Los electrones se trasfieren de la placa A a la B, con lo que se produce una carga igual y opuesta sobre las placas. La capacitancia de este arreglo se define como sigue:

La capacitancia entre dos conductores que tiene cargas iguales y opuestas es la razón de la magnitud de la carga sobre cualquier conductor a la diferencia de potencial resultante entre los dos conductores.

La ecuación para la capacitancia de un condensador es la misma que la ecuación del capitulo anterior

Pata un conductor individual, excepto que en este caso el símbolo V se aplica a la diferencia de potencial y símbolo en cualquiera de los conductores,

En vista de la enorme magnitud de coulomb como unidad de carga, el farad es una unidad de capacitancia demasiado grande para las aplicaciones practicas. Por ello, con frecuencia se usan los submúltiplos siguientes 

No es raro encontrar capacitancia de unos cuantos picofarad en ciertas aplicaciones de comunicación eléctrica